AIが未解決のエルデシュ問題を相次ぎ解決、数学界に変化の兆し

OpenAIの発表内容

OpenAIは2026年5月20日、未公開の内部AIモデルが、1946年にポール・エルデシュが提唱した「ユニット距離問題」について反例を発見したと発表しました。これは、平面上の点集合において、互いの距離がちょうど1になる点のペアの最大数を問う問題で、長年未解決のままでした。

この成果は決定的なものではなく、人間の数学者によって数週間以内に大幅に改善されましたが、それまで誰も適用していなかった遠い分野の数学のアイデアを持ち込んだ点で革新的でした。また、その数日後には関連する手法を使って他の重要な問題も解かれており、影響力は大きかったとみられます。

さらに、8月1日には、未公開モデル「Astra」が10件の数学的進歩を達成し、そのうち3件はエルデシュ問題の解決だったと発表されています。こられの発表に対し、プリンストン大学のノガ・アロン教授は「数学研究の進め方を劇的に変えつつある」と述べています。

エルデシュ問題とコミュニティ形成

エルデシュ問題は、ハンガリーの数学者エルデシュが生涯にわたって提起した数千もの未解決問題です。彼は論文や手紙などで世界中の数学者に問題を投げかけ、解決者には賞金を支払うと約束しました。1996年に亡くなった後も、非営利財団が賞金の支払いを引き継いでいます。

イギリスの数学者トーマス・ブルーム氏は、解決済みか未解決かを整理するため、2023年初めに「erdosproblems.com」を開設しました。このサイトはChatGPTが書いたPythonコードで動いており、2024年から2025年8月までの間に111件の問題のステータスが「未解決」から「解決済み」に変更されました。

2025年8月にコメント機能が追加されると、非専門家を含む数学愛好家のコミュニティが形成されました。例えば、顧客サービス企業に勤めるワウター・ファン・ドールン氏は、同サイトで知り合ったテレンス・タオ氏と共同でエルデシュ問題1102を解決しており、AIを使うことなく自力で解法の道筋を立てたとされています。

AIによる具体的な解決例

2025年12月から、ケンブリッジ大学の学部生ケビン・バレート氏とリアム・プライス氏は、最新のAIモデルを使ってエルデシュ問題を次々と解こうと試みました。彼らはモデルに「未解決問題です」と伝えず、問題が易しいと思い込ませるようなプロンプトを使うことで、解けることを発見しました。

2025年12月25日にはエルデシュ問題333を解いたと主張しましたが、同問題は1977年にエルデシュ自身が既に解いていたことが数時間後に判明しました。その後、2026年1月4日には問題728をGPT-5.2 Proで解決し、ハーモニック社が開発した検証ツール「アリストテレス」で証明の正当性を確認しています。

プライス氏は、AIの回答を新しいインスタンスに読み込ませて検証するという手法を体系化しました。この手法は、いわゆる「ハーネス」や「スキャフォールド」として企業が内部で研究している反復プロセスに近いものだと考えられます。

数学界への影響と注意点

エルデシュ問題がAIのテストベッドとして適している理由は、その多くが数論・組合せ論・グラフ理論といった、大規模言語モデルが比較的扱いやすい分野に属しているからです。また、問題の難易度もさまざまであり、AIの能力に合わせて試せる点も利点です。

一方で、AIが出力した証明は必ずしも正しくないため、専門家による検証や、アリストテレスのような形式的な証明検証ツールの利用が不可欠です。エルデシュ問題333のように、既に解かれていた問題を「未解決」と誤って解いてしまうケースもあり、文献調査の重要性も指摘されています。