AI検証システムが素数間隔「246定理」の証明の形式的検証に成功

何が起きたか

米Axiom Math社は、同社のAIシステム「AxiomProver」を使って、素数に関する「246定理」の証明を自動検証したと発表した。これは、数学の証明を機械が確認できる形式に変換し、その正しさをコンピュータで検証する「形式的検証」の重要な成果と位置づけられる。

形式的検証は、証明の正しさを100パーセント保証するものではない。実際に、検証方法自体のバグを悪用して誤ったAI生成証明を受け入れてしまう例が最近示されている。それでも、この手法は現実的に最も信頼性の高い確認手段の一つとされる。

246定理とは

素数は2, 3, 5, 7, 11...と続き、差が2のペア（双子素数）は3と5、5と7、11と13など、無数に存在すると予想されている。これが「双子素数予想」で、19世紀にAlphonse de Polignacが定式化したが、いまだ証明されていない。

2013年、張益唐氏が差が7000万以下の素数のペアが無限に存在することを証明。その後James Maynard氏が600まで縮め、Polymath8bという共同プロジェクトでTerence Tao氏らが246まで到達した。246定理は「差が246の素数のペアが無限に存在する」という主張で、双子素数予想（差2）に最も近い既知の結果である。

先行研究との違い

Axiom Math社の競合であるMath Inc社は、AIエージェント「Gauss」を使って、Maryna Viazovska氏が2022年にフィールズ賞を受賞した球充填問題の証明を形式化した。これに対してAxiom Math社は、単一の問題を一回きりで検証するのではなく、証明の部品を他の形式化タスクや数学研究に再利用できるよう設計している点が特徴だ。

この取り組みに人間側で関わったSidharth Hariharan氏（カーネギーメロン大学の博士課程学生、Axiom Math社でインターン）は、246定理の形式化はより包括的で有用な成果だと述べている。AxiomProverは素数間隔に関する結果のライブラリを構築しており、246定理はその代表的な成果となる。

AI生成コードの検証へ

形式的検証は、現在のサイバーセキュリティや暗号の基盤である数論に役立つだけでなく、AIが生成したコードの安全性を確認する手段としても期待されている。アルゴリズムが停止するか、任意の入力に対して出力が正しいかといった性質を正確な数学的言明に変換できれば、AxiomProver由来の技術で検証できる可能性がある。

Axiom Math社の創設数学者Ken Ono氏は、「世界はまさに、誰も読んでいないコンピュータコードで動こうとしている。AIがもたらす最も重要な課題を解決するためのテストベッドが証明の形式化だ」と述べている。AI生成コードにまつわる幻覚やバグ、脆弱性への懸念が高まる中、数理的な検証が新たな防衛線になるとみられる。

注意点と課題

今回の検証は「形式的検証が数学の証明にどこまで使えるか」を示す一歩だが、方法論には限界がある。冒頭で触れた通り、検証システム自体のバグが誤った証明を受け入れる原因になる可能性があり、AIが生成した証明の信頼性は別途検討が必要だ。

また、AxiomProverがどのような計算資源や学習データを使っているか、検証にかかった時間やコストは記事では明らかにされていない。日本から利用できるのか、商用ライセンスの条件がどうなっているのかも現時点では不明で、追加の情報公開が待たれる。